미적분학에 대해서

미적분학은 이때까지 공부한 수학과는 근본이 다른 형태이다

미분적분학은 정적이기 보다는 매우 동적이다

변화와 움직임에 관련되어 있고, 다른 양에 접근하는 양을 다루고 있다.

그래서 우리가 미분적분학을 공부하려면 전체적인 관점을 볼 필요가 있다

다양한 문제를 해결하려고 할 때 극한의 개념이 어떻게 일어나는지 보여줌으로써 미분적분학의 주요 아이디어 중 일부를 한 번 다뤄보려고 한다

 

넓이문제

 

미분적분학의 기원은 적어도 2500년 전의 고대 그리스로 거슬러 올라갑니다

이들은 임의의 다각형의 넓이를 구하기 위해서 가장 기본단위인 삼각형으로 나누어서 삼각형의 넓이를 더하여 구하는 방법을 선택했습니다

하지만 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 것은 단지 삼각형으로만 나눌 수 없었는데요

고대 그리스인의 철저한 연구방법은 그 영역을 다각형으로 내접시키고, 외접시키는 방법을 선택했습니다

그리고 나서 다각형의 변의 수를 증가시키는 방식을 선택했습니다

 

직사각형이나 삼각형들의 넓이로 근사 시켜서 직사각형이나 삼각형의 너비를 줄이게 되면, 직사각형이나 삼각형들의 넓이들의 합의 극한으로 곡선의 형태의 넓이를 구할 수 있게 되었다

 

이때 넓이의 극한인 limit를 사용하게 되었는데, 물론 그리스 사람들이 극한을 사용하지는 않았지만 이와 간접적인 논리로 사용하긴 하였다고 전해져내려오고 있다

 

접선문제

 

접선 문제는 미적분학이라고 불리는 미분적분학이 한 분야에서 나타났는데, 미분학은 적분학이 발견되고 2000년 이상이 지난 후에야 발견되었다

미분학의 배경이 되는 주요 아이디어는 프랑스 수학자 페르마에 의해 개발되고, 영국의 수학자 월리스, 배로, 뉴턴과 독일 수학자 라이프니츠에 의해 발전되었다

 

미분적분학의 두 분과의 주요 문제인, 넓은 문제와 접선 문제는 매우 다른 것 처럼 느껴지나 사실은 매우 밀접한 관계가 있다

 

수열의 극한

 

기원전 5세기에 그리스의 철학자 제논은 '제논의 패러독스'로 알려진 네 문제를 제기 했는데, 이것들은 그 시대에 받아들였던 시간과 공간에 관련된 생각에 도전하는 의도가 있었다

n이 증가함에 따라 a_n이 수 L에 접근함을 나타난다는 것은 n을 충분히 크게 택하면 a_n을 수 L에 원하는 만큼 가깝게 만들 수 있다는 것을 의미한다

 

예를 들어서

a_1 = 3.1

a_2 = 3.14

a_3 = 3.141

a_4 = 3.1415

a_5 = 3.14159

a_6 = 3.141592

a_7 = 3.1415926

 

이와 같이 자꾸 a_n에서 n이 커지면 파이에 대한 유리 근사값이 됨을 알 수 있다 

 

이와 같이 극한의 개념이 영역의 넓이, 곡선의 접선의 기울기, 자동차의 속도 또는 무한급수의 합을 구하고자 할 때 필요하다는 걸 알 수 있고, 우리는 극한을 다루는 수학의 일부분을 미적분학으로 정의한다

 

 아이작 뉴턴은 미적분학에 대한 그의 해석을 고안한 이후 이를 태양 주위의 행성들의 운동을 설명하는 데 사용했는데, 오늘 날은 우주선의 궤도를 계산할 때, 인구를 예측할 때, 커피 가격이 얼마나 빠르게 상승할지를 예측할 때 등과 같이 매우 많은 분야에서 사용한다는 것을 알고 미적분학을 임하면 좋을 것 같다

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부록) 코시와 극한

 

17세기 미분적분학의 발명 이후, 18세기는 이 분야의 자유로운 발달의 시기였다

베르누이 형제와 오일러와 같은 수학자들은 미분적분학의 능력을 개척하고자 열망했으며, 그들의 증명이 완벽한지에 대해서는 크게 의심하지 않고 새롭고 경이로운 수학적 이론의 결과들을 대담하게 연구하였다

 반면 19세기는 수학에 있어서 엄격함의 시대였다

미분적분학에 대한 엄밀한 정의와 세밀한 증명을 제공하기 위해 주제의 기초이론으로 돌아가려는 움직임이 있었다

이러한 움직임의 선두 주자로 프랑스 수학자 코시(1789-1857)가 있었는데, 그는 파리에서 수학교수가 되기 전에 군대 기술자였다 코시는 뉴턴의 극한개념을 받아들였고 이는 18세기 프랑스 수학자 달랑베르에 의해 계속 연구되고 더욱 엄밀하게 정의되었다.

극한에 대한 그의 정의는 다음과 같았다

"변수로 생각되는 잇따른 값들이 막연히 어떤 고정된 값에 접근해서 이것과의 차이가 원하는 만큼 작아질 때, 이 고정 값을 다른 것들의 극한이라 정의한다" 그러나 코시는 예제나 증명들에서 이 정의를 사용할 때는 이 절에 나오는 것과 유사한 델타-입실론 부등식을 사용하였다